Función de transferencia y diagramas de bode y black:

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada).

El cociente formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.

Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matrcial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de una vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.


Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.

Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:

H (s) = \frac {Y(s)} {U(s)}\,\!

donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.

La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

H(s) = \<span class=mathcal{L} \left \{ h(t) \right \} = \int_{0}^\infty e^{-st} h(t)\,dt \,\!" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/a/9da2a2d69bdd436ddf5401585fe995c5.png">

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de

Y(s) = {G(s)} {U(s)} \,\!

y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):

y(t) = L^{-1}[Y(s)] \,\!

Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos.

Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como:

H (s) = \frac {V_{<span class=out}} {V_{in}} \,\!" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/e/0/6e02778c69f7c1c78dc0175af1b56149.png">




diagrama de bode

Diagrama de Bode de un filtro paso bajo Butterworth de primer orden (con un polo)

Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.

Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).

Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las frecuencias de corte

Diagrama de Black – Nichols:

  • Definición.

Este tipo de representación se basa en el hecho de colocar sobre un mismo plano el módulo y la fase de la función de transferencia a partir de sus dos gráficas separadas. Se usa mucho si los diseños y cálculos se realizan a mano, pero en la actualidad, debido al uso de ordenadores, este tipo de diagrama está perdiendo importancia. Aún así veremos algún ejemplo.

%Ejemplo

num = [-4 48 -18 250 600];

den = [1 30 282 525 60];

H = tf(num,den)

Nichols(H);ngrid

Estabilidad según Nichols:

La traza de magnitud- fase es otra forma de gráfica en el dominio de la frecuencia, que tiene ciertas ventajas de análisis y diseño en el dominio de la frecuencia. La traza de magnitud-fase de una función de transferencia L(jw) se hace en el valor absoluto de |L(jw)| (dB) contra

El punto crítico es la intersección del eje o dB y el eje -180º.

  • El cruce de fase es donde el lugar geométrico intercepta al eje -180º.
  • El cruce de ganancia es donde el lugar geométrico intercepta al eje 0 dB.
  • El margen de ganancia es la distancia vertical en dB medida del cruce de fase al punto crítico.
  • El margen de fase es la distancia horizontal en grados medida del cruce de ganancia al punto crítico.

Otra ventaja de emplear la traza de magnitud – fase es que para sistemas con realimentación unitaria, los parámetros del sistema en lazo cerrado, tales como Mr, r y BW se pueden determinar de la traza con la ayuda del lugar geométrico de M constante. Estos parámetros de desempeño en lazo cerrado no están representados en las trazas de Bode de la función de transferencia de la trayectoria directa de un sistema con realimentación unitaria.

Lugar geométrico de M constante en el plano G(jw)

El pico de resonancia Mr y el ancho de banda BW son difíciles de obtener para sistemas de orden superior, y las trazas de Bode proveen información sobre el sistema en lazo cerrado sólo en la forma de margen de ganancia y margen de fase. Es necesario desarrollar un método gráfico para la determinación de estos parámetros empleando la función de transferencia de la trayectoria directa de G(jw). Como veremos a continuación, el método es en directo aplicable sólo a sistemas con realimentación unitaria, aún cuando con algunas modificaciones también se puede aplicar a sistemas con realimentación no unitaria.

Consideremos que G(s) es la función de transferencia de la trayectoria directa de un sistema con realimentación unitaria. La función de transferencia de lazo es:

Para un estado senoidal permanente hacemos s=jw tenemos:

Así el módulo de M será:

Si consideramos M(jw)=M (por simplificar) tenemos:

y al operar nos queda:

Para un valor dado de M, esta ecuación representa un círculo de centro y radio .

Cuando M toma diferentes valores la ecuación anterior describe en el plano G(jw), una familia de círculos que se llaman lugar geométrico de M constante, o círculos de M constante; éstos son simétricos con respecto a la línea M =1 y al eje real.

Gráficamente, la intersección de la curva G(jw) y el círculo M constante da el valor de M en la frecuencia correspondiente sobre la curva de G(jw). Si se quiere mantenerle valor de Mr menor que cierto valor, la curva G(jw) no debe interceptar al círculo correspondiente de M en cualquier punto, y al mismo tiempo no debe encerrar al punto (-1,j0). El círculo M constante con el menor radio que es tangente a la curva G(jw) da el valor de Mr, y la frecuencia de resonancia se lee del punto tangente sobre la curva G(jw). El BW se encuentra en la intersección de la curva G(jw) y el lugar geométrico M =0.707.

Lugar geométrico de fase constante en el plano G(jw)

El lugar geométrico de fase constante de un sistema en lazo cerrado se puede graficar en el plano G(jw9 a través de un método similar al usado para graficar el lugar geométrico de M constante. En general, la información de fase del sistema en lazo cerrado rara vez se utiliza en el análisis y diseño, ya que la información sobre Mr, , y BW se obtiene de la curva de magnitud.

Los lugares geométricos de fase constante se llaman círculos de N constante y se describen por la ecuación:

La carta de Nichols:

Una de las mayores desventajas al trabajar en coordenadas polares de la traza de Nyquist de G(jw) es que la curva ya no retiene su forma original cuando una modificación simple tal como el cambio de ganancia de lazo se hacen al sistema. Frecuentemente, en situaciones de introducir controladores al sistema. Esto requiere una reconstrucción completa de la traza de Nyquist de la G(jw) modificada. APRA el trabajo de diseño que involucra a Mr y BW como especificaciones, es más conveniente trabajar con la traza de magnitud-fase G(jw), ya que cuando se altera la ganancia de lazo, la curva G(jw) completa se corre hacia arriba o hacia abajo en forma vertical, sin distorsión. Cuando las propiedades de fase de G(jw) se cambian de forma independiente, sin afectar la ganancia, la traza de magnitud-fase se afecta sólo en dirección horizontal.

Por la razón anterior, el lugar geométrico de M constate en las coordenadas polares se transfiere a las coordenadas magnitud-fase, y el lugar geométrico resultante forma una carta de Nichols.

Veamos un ejemplo:

Recordemos que la simulación hay que hacerla con realimentación unitaria.

Probaremos para varios valores de K: K = 7.348, K = 14.5, K = 181.2, K = 273.57.

%Ejemplo

s=tf('s') %defino la función de transferencia de la planta

num=15000000

den=s*(s+400.26)*(s+3008)

Planta=(num/den)

open1=7.348*planta %creo los cuatro sistemas en lazo abierto con los open2=14.5*planta distinta K

open3=181.2*planta

open4=273.57*planta

close1=feedback(open1,1) %creo cuatro sistemas en lazo cerrado close2=feedback(open2,1) mediante los sistemas en lazo abierto definidos close3=feedback(open3,1) antes

close4=feedback(open4,1)


Si ahora analizamos su respuesta al escalón:

step(close1,’b’) step(close2,'r')

step(close3,’g’) step(close4,'y')

Se puede observar que tanto el primer sistema como el segundo son estables, el tercero es marginalmente estable (su diagrama de Nichols pasa por el punto (-1,j0)), y el cuarto es inestable.


Filtro analógico

Los filtros analógicos al igual que cualquier otro tipo de filtro, discriminan lo que pasa a su través atendiendo a algunas de sus características.
Al tratarse de filtros electrónicos lo que pasa a su través son señales eléctricas que, en el caso de los filtros analógicos, obviamente, son señales analógicas.

El parámetro por el que suelen discriminar es la frecuencia.


Tipos de filtros

Hay distintos tipos de clasificación de filtros.

  • Atendiendo a la ganancia:
    • Filtros pasivos: los que atenuarán la señal en mayor o menor grado. Se implementan con componentes pasivos como condensadores, bobinas y resistencias.
    • Filtros activos: son los que pueden presentar ganancia en toda o parte de la señal de salida respecto a la de entrada. En su implementación suelen aparecer amplificadores operacionales.
  • Atendiendo a su respuesta en frecuencia:
    • Filtro paso bajo: Es aquel que permite el paso de frecuencias bajas, desde frecuencia 0 o continua hasta una determinada. Presentan ceros a alta frecuencia y polos a bajas frecuencia.
    • Filtro paso alto Es el que permite el paso de frecuencias desde una frecuencia de corte determinada hacia arriba, sin que exista un límite superior especificado. Presentan ceros a bajas frecuencias y polos a altas frecuencias.
    • Filtro paso banda: Son aquellos que permiten el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.
    • Filtro elimina banda: Es el que dificulta el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.
    • Filtro multibanda: Es que presenta varios rangos de frecuencias en los cuales hay un comportamiento diferente
    • Filtro variable: Es aquel que puede cambiar sus márgenes de frecuencia
  • Atendiendo a su aplicación:
    • Filtro de red. Este tipo de circuito impide la entrada de ruido externo, además impide que el sistema contamine la red, de tal forma que se pueden utilizar fuentes analógicas y digitales o fuentes PWM que afecten negativamente el resto del equipo. También es posible corregir el factor de potencia ya que el circuito reduce significativamente los picos de corriente generados por el condensador al cargarse. El circuito consiste básicamente en un filtro paso bajo en donde la primera bobina elimina ruido en general (frecuencias altas), junto con los condensadores. El transformador elimina el ruido sobrante, que los condensadores no eliminan. Al transformador se le denomina choque de modo común. Son los utilizados para garantizar la calidad de la señal de alimentación, éstos tienen como objetivo eliminar ruidos tanto en modo común como en modo diferencial.
  • Otros tipos:
    • Filtros piezoeléctricos. Este filtro aprovecha las propiedades resonantes de determinados materiales como el cuarzo. Este cristal de cuarzo se utiliza como componente de control de la frecuencia de circuitos osciladores convirtiendo las vibraciones mecánicas en voltajes eléctricos a una frecuencia específica. Esto ocurre debido al efecto piezoeléctrico. En un material piezoeléctrico, al aplicar una presión mecánica sobre un eje, dará como consecuencia la creación de una carga eléctrica. En algunos materiales, se encuentra que aplicando un campo eléctrico según un eje, produce una deformación mecánica según otro eje ubicado a un ángulo recto respecto al primero. Por las propiedades mecánicas, eléctricas, y químicas, el cuarzo es el material más apropiado para fabricar dispositivos con frecuencia bien controlada. También existen filtros como el de ferrita que existe en muchos cables. Es normal encontrárselos en las pantallas del computador. Aquí se tiene la propiedad de presentar distintas impedancias a alta y baja frecuencia.
    • Filtros atómicos

Ejemplo

En este ejemplo se muestra un filtro Butterworth de orden 4 con frecuencia de corte en 1000Hz. La implementación se basa en células Sallen-Key. En la siguiente figura se muestra el circuito eléctrico:

Imagen:filtro_a_2.PNG

La respuesta en frecuencia se muestra en la siguiente gráfica:

Imagen:filtro_a_1.PNG

Aquí se muestra en color negro la respuesta en módulo (en dB) y en rojo la respuesta en fase.

Aplicaciones

Debido a que se suelen realizar con componentes discretos y a que tienen poca flexibilidad no se suelen diseñar filtros analógicos de órdenes elevados. En vez de eso se emplean conversores y filtros digitales.


Filtro digital

Archivo:FIR.PNG

Definición

Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de las variaciones de las señales de entrada en el tiempo y amplitud, se realiza un procesamiento matemático sobre dicha señal; generalmente mediante el uso de la Transformada rápida de Fourier; obteniéndose en la salida el resultado del procesamiento matemático o la señal de salida.


Los filtros digitales tienen como entrada una señal analógica o digital y en su salida tienen otra señal analógica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud, frecuencia o fase dependiendo de las características del filtro digital.

El filtrado digital es parte del procesado de señal digital. Se le da la denominación de digital más por su funcionamiento interno que por su dependencia del tipo de señal a filtrar, así podríamos llamar filtro digital tanto a un filtro que realiza el procesado de señales digitales como a otro que lo haga de señales analógicas.

Comunmente se usa para atenuar o amplificar algunas frecuencias, por ejemplo se puede implementar un sistema para controlar los tonos graves y agudos del audio del estéreo del auto.

La gran ventaja de los filtros digitales sobre los analógicos es que presentan una gran estabilidad de funcionamiento en el tiempo.


El filtrado digital consiste en la realización interna de un procesado de datos de entrada.

En general el proceso de filtrado consiste en el muestreo digital de la señal de entrada, el procesamiento considerando el valor actual de entrada y considerando las entradas anteriores. El último paso es la reconstrucción de la señal de salida.

En general la mecánica del procesamiento es:

  1. Tomar las muestras actuales y algunas muestras anteriores (que previamente habían sido almacenadas) para multiplicadas por unos coeficientes definidos.
  2. También se podría tomar valores de la salida en instantes pasados y multiplicarlos por otros coeficientes.
  3. Finalmente todos los resultados de todas estas multiplicaciones son sumados, dando una salida para el instante actual.

El procesamiento interno y la entrada del filtro serán digitales, por lo que puede ser necesario una conversión analógica-digital o digital-analógica para uso de filtros digitales con señales analógicas.


Un tema muy importante es considerar las limitaciones del filtro de entrada debido a Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon que en pocas palabras; si quiero procesar hasta una frecuencia de 10KHz, debo muestrear a por lo menos 20 KHz.

Los filtros digitales se usan frecuentemente para tratamiento digital de la imagen o para tratamiento del sonido digital.

Otro ejemplo común de filtros digitales son los programas para retocar imágenes.

Tipos de filtros

Hay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones para estos filtros:

  • De acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenúan hay:
  • De acuerdo con su orden:
    • primer orden
    • segundo orden
    • ...
  • De acuerdo con el tipo de respuesta ante entrada unitaria:
    • FIR (Finite Impulse Response)
    • IIR (Infinite Impulse Response)
    • TIIR (Truncated Infinite Impulse Response)
  • De acuerdo con la estructura con que se implementa:
    • Laticce
    • Varios en cascada
    • Varios en paralelo
    • ...

Expresión general de un filtro

Hay muchas formas de representar un filtro. Por ejemplo, en función de w (frecuencia digital), en función de z y en función de n (número de muestra). Todas son equivalentes, pero a la hora de trabajar a veces conviene más una u otra. Como regla general se suele dejar el término a0=1.

Si se expresa en función de z y en forma de fracción:

H(z)=\frac {     {\sum_{k=0}^M} b_k\cdot z^{-k}  }{     {\sum_{k=0}^N} a_k\cdot z^{-k} }

Y en dominio de n:

y(n)= {\sum_{k=0}^N} b_k \cdot x(n-k) - {\sum_{k=1}^M} a_k \cdot y(n-k)

Los coeficientes son los a y b y son los que definen el filtro, por lo tanto el diseño consiste en calcularlos.

Ejemplo del diseño de un filtro

En primer lugar se parte de las especificaciones y, basándose en éstas, se elige el tipo de filtro. En este ejemplo se parte de un filtro digital que anule las frecuencias menores a 5Hz y la de 50Hz y que no altere al resto, la frecuencia de muestreo será 1000Hz, además se quiere fase lineal.

Con estas especificaciones se elige un filtro FIR. El diseño se puede hacer manualmente o con la ayuda de un ordenador. En este ejemplo el método de diseño será el de Remez. En Matlab se obtienen los coeficientes que definen el filtro, que en la ecuación anterior se llaman a y b (el numerador es la variable b y el denominador solo tiene un término que es 1, como corresponde a un filtro FIR):

[n,fo,mo,w]=remezord([0 5 45 50 50 55],[0 1 0 1],[0.01 0.1 0.01 0.1],1000); b = remez(n,fo,mo,w)

En la siguiente figura se muestra el aspecto del filtro en el centro. En la parte superior se muestra la señal que se quiere filtrar y en la parte inferior la señal filtrada (se trata de un electrocardiograma).

Archivo:matlab_filtro.PNG

El siguiente paso es seleccionar la forma de implementarlo, es decir su estructura. Luego se elige el hardware sobre el que funcionará. Normalmente un Procesador digital de señal o una FPGA, aunque también puede ser un programa de ordenador. Finalmente se usan los coeficientes obtenidos y la estructura elegida para crear el programa.